ONA 11 – różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Dziś będziemy zajmować się różniczkowaniem i całkowaniem numerycznym. Slajdy są tu: ONA11-calkowanie ONA11-calkowanie

Przydatny będzie nam przede wszystkim pakiet scipy.integrate ale będziemy też korzystać z nowych funkcji pakietu matplotlib, takich jak wykresy strzałkowe

0. Na początek proponuje obejrzeć sobie program opisujący model Lotki-Volterry ( lotka_volterra ) i spróbować wykonać go po kawałku ze zrozumieniem. Jeśli są pytania, to proszę pytać

1. Naszym głównym zadaniem zwykle było zadanie o zombie (tutaj wersja zeszłoroczna). W związku z okolicznościami przyrody, może lepiej zajmiemy się modelem SEIR ewolucji epidemii. Jest to model opisany równaniami:

seireqn

Gdzie:

  • S to liczba osób niezarażonych,
  • E to liczba osób zarażonych, ale jeszcze nie zarażających,
  • I to liczba osób zarażonych i zarażających
  • R to liczba osób, które już ozdrowiały i nie są podatne na zarażenie

Model ma następujące parametry:

  • \beta to współczynnik “skuteczności zarażania”
  • \sigma to współczynnik “inkubacji” im większy, tym krótsza inkubacja
  • \gamma to współczynnik “zdrowienia” im większy, tym krótszy czas “zarażania”
  • \nu to współczynnik “zyskiwania/utraty odporności”, jeśli jest dodatni, część populacji zyskuje odporność bez chorowania, jeśli jest ujemny, część populacji traci odporność po ozdrowieniu
  • \mu to współczynnik normujący związany ze śmiertelnością populacji. Ten model zakłada stałe N w czasie, ale zawiera przepływy normujące \mu, które związane są z efektami śmiertelności na populacje

Interesują nas następujące pytania:

a) Jak wygląda ewolucja systemu w czasie (w zakresie 0..50),  jeśli na początku jest tylko 1000 ludzi niezarażonych, i jeden zarażony  i mamy następujące prametry:

  • \beta=0.9
  • \gamma=0.2
  • \sigma=0.5
  • \mu=0
  • \nu=0

Rozwiązanie przedstaw na wykresie 4 zmiennych (S, E, I, R) od czasu

b) Jak na sytuację wpłyną zmiany współczynnika \nu? Co jeśli \nu jest ujemne, jak w przypadku grypy? Co jeśli \nu jest dodatnie, co oznaczałoby spontaniczne zyskiwanie odporności, bez fazy zarażania?

c) Zaprezentuj pole wektorowe populacji S i I względem parametrów \beta i \gamma?

d*) Zaprezentuj pole wektorowe 3d dla zmiennych SEI

Praca domowa (za 1 pkt)

Trzeba zaimplementować model z niezerową śmiertelnością (powiedzmy \mu=0.01), wykonać symulacje i opisać jednym zdaniem co się zmienia jeśli chodzi o liczbę chorych infekujących (I) w stosunku modelu z \mu=0.

Żeby dostać ten punkt, trzeba wysłać do mnie jako załącznik plik .py generujący wykresy (SEIR od czasu) dla dwóch modeli (\mu=0 i \mu=0.01) a w treści wiadomości napisać co zaobserwowaliśmy. Czas, jak zwykle, do następnych zajęć.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>