ONA – Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Dziś będziemy zajmować się różniczkowaniem i całkowaniem numerycznym. Slajdy są tu: ONA10-calkowanie

Przydatny będzie nam przede wszystkim pakiet scipy.integrate ale będziemy też korzystać z nowych funkcji pakietu matplotlib, takich jak wykresy strzałkowe

0. Na początek proponuje obejrzeć sobie program opisujący model Lotki-Volterry ( lotka_volterra ) i spróbować wykonać go po kawałku ze zrozumieniem. Jeśli są pytania, to proszę pytać

1. Naszym właściwym zadaniem jest budowa podobnego modelu dla problemu inwazji Zombie (opisanego w artykule naukowym ). Mamy tu 3 zmienne: ludzi niezarażonych (S), zombie (Z) oraz ofiary konfliktu (R). System jest dynamiczny, a jego zmiany opisują równania różniczkowe:

  • dS/dt = P – B*S*Z -D*S,
  • dZ/dt = B*S*Z +G*R – A*S*Z,
  • dR/dt = D*S + A*S*Z – G*R,

gdzie

  • P oznacza przyrost naturalny ludzi,
  • B – współczynnik z którym zombie spotykając niezarażonego może go zarazić,
  • D – współczynnik śmiertelności ludzi z przyczyn naturalnych,
  • G – prawdopodobieństwo, że zombie powstanie z martwej ofiary,
  • A – szansa na to, że w pojedynku człowieka z zombie, to zombie zostanie pokonane

Interesują nas następujące pytania:

a) Jak wygląda ewolucja systemu w czasie (w zakresie 0..5000),  jeśli na początku jest tylko 1000 ludzi niezarażonych (nie ma zombie, ani ciał) i mamy następujące prametry:

  • P=0.0001
  • D=0.0001
  • B=0.0095
  • G=0.0001
  • A=0.0001

Rozwiązanie przedstaw na wykresie 3 zmiennych (S,Z i R) od czasu

b) Czy zagładę populacji można zatrzymać poprzez zwiększanie współczynnika urodzin P? Rozwiązanie uzasadnij. Który ze współczynników musiałby wynosić 0, żeby populacja mogła poradzić sobie z zombie?

c) Zaprezentuj pole wektorowe populacji zombie i ludzi względem parametrów A i B?

d*) Zaprezentuj pole wektorowe 3d dla zmiennych S,Z,R

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>