Dziś głównie o korelacji i regresji. Slajdy do wykładu są tutaj. Przyda nam się pakiet car (companion to applied regression). Instalujemy go przez install.packages(“car”)
Zadanie 1.
Wygeneruj próbki losowe, zmiennych x i y niezależnych, normalnych. Wyświetl je przy pomocy funkcji plot lub scatterplot (z pakietu car) i policz dla nich współczynnik korelacji Pearsona ( funkcja cor(x,y) ). Jak zmienia się rozkład korelacji w zależności od wariancji rozkładów i rozmiaru próby (np. duże próby o małej wariancji vs małe próby o dużej wariancji)? (Aby oszacować zachowanie rozkładu trzeba spróbować więcej niż raz dla zadanych parametrów).
Zadanie 2. Spróbuj zrobić to zamo dla zmiennych zależnych (np. x=rnorm(1000), y=x+rnorm(1000,0,0.3). Zobacz jak wyglądają wykresy (scatterplot i plot) dla takich zmiennych. Można popróbować też z funkcją hexbin z pakietu hexbin do rysowania map gęstości
Zadanie 3.
Wygeneruj próbę, gdzie zmienne x i y są istotnie zależne, ale współczynnik korelacji Pearsona jest bliski zera (np. krzyż, obwarzanek lub rogalik). Czy można umiesz w tych trzech przypadkach zaproponować takie przekształcenie f, że korelacja (f(Y),x) jest istotna?
Zadanie 4.
Wygeneruj próby X i Y w następujący sposób: wybierz srednie mx1, mx2, my1, my2 i wylosuj po 50 obserwacji x_1..x_50 ze srednia mx1, x_51..x_100 ze srednia mx2, y_1..y_50 ze srednia my1 i y_51..y_100 ze srednia my2 (wariancja zawsze równa 1). Rozważ 3 przypadki:
- 1 ==mx1==mx2, my1==my2==100
- 1 == mx1==my1, mx2== my2 == 100
- 1 == mx1==mx2 == my1, my2 == 100
Wyrysuj te rozkłady przy pomocy funkcji scatterplot. Policz współczynniki korelacji Pearson’a dla tych pzykładów. Przy pomocy funkcji summary(lm(y ~ x)) policz współczynniki korelacji i ich istotność. Czy z istotnej wartości korelacji Pearson’a można wnioskować zależność liniową?
Zadanie 5.
Wylosuj zmienne x i y, przy czym niech y = cdf (x) + N(0,0.1) (dystrybuanta rozkładu normalnego + niewielkie zaburzenie losowe). Policz współczynnik korelacji Pearsona i Spearmana dla y~x